Álgebra de Boole

 

Álgebra de Boole

Es una rama especial del álgebra que se usa principalmente en electrónica digital. El álgebra booleana fue inventada en el año 1854 por el matemático inglés George Boole.

El álgebra de Boole es un método para simplificar los circuitos lógicos (o a veces llamados circuitos de conmutación lógica) en electrónica digital.

Por lo tanto, también se llama como "Cambio de álgebra". Podemos representar el funcionamiento de los circuitos lógicos utilizando números, siguiendo algunas reglas, que son bien conocidas como "Leyes del álgebra de Boole".

También podemos hacer los cálculos y las operaciones lógicas de los circuitos aún más rápido siguiendo algunos teoremas, que se conocen como "Teoremas del álgebra de Boole". Una función booleana es una función que representa la relación entre la entrada y la salida de un circuito lógico.

La lógica booleana solo permite dos estados del circuito, como True y False. Estos dos estados están representados por 1 y 0, donde 1 representa el estado "Verdadero" y 0 representa el estado "Falso".

Lo más importante para recordar en el álgebra de Boole es que es muy diferente al álgebra matemática regular y sus métodos. 

Operaciones básicas

El álgebra de Boole está definido por 3 operaciones básicas: complemento, suma (OR) y producto (AND).

El complemento es el negado: $y=\overline{a}$. Viene dado por la tabla 3.1.

Tabla 3.1: NOT

a	y
0	1
1	0

La operación suma u OR se representa $y=a+b$ y viene dada por la tabla 3.2.

Tabla 3.2: OR

a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

La operación producto u AND se representa $y=a\cdot b$ y viene dada por la tabla 3.3.

Tabla 3.3: AND

a	b	y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Propiedades

Axiomas básicos

1: La ley asociativa:

$$\forall a,b,c\in B:(a+b)+c=a+(b+c)$$

$$\forall a,b,c\in B:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$$

2: Existencia del elemento neutro:

$$\forall a\in B:a+0=a$$

$$\forall a\in B:a\cdot 1=a$$

3: La ley conmutativa:

$$\forall a,b\in B:a+b=b+a$$

$$\forall a,b\in B:a\cdot b=b\cdot a$$

4: Ley distributiva:

$$\forall a,b,c\in B:a+(b\cdot c)=(a+b)\cdot (a+c)$$

$$\forall a,b,c\in B:a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$$

5: Existencia del elemento complementario:

$$\forall a\in B;\exists \overline{a}\in B:a+\overline{a}=1$$

$$\forall a\in B;\exists \overline{a}\in B:a\cdot \overline{a}=0$$

AND

Ley de idempotencia para el producto:$$\forall a\in B:a\cdot a=a$$

Ley de absorción para el producto:$$\forall a\in B:a\cdot 0=0$$

Ley de identidad para el producto:$$\forall a\in B:a\cdot 1=a$$

OR

Ley de idempotencia para la suma:$$\forall a\in B:a+a=a$$

Ley de absorción para la suma:$$\forall a\in B:a+1=1$$

Ley de identidad para la suma:$$\forall a\in B:a+0=a$$

NOT

Ley de involución:$$\forall a\in B:\overline{\overline{a}}=a$$

Leyes de De Morgan

$$\forall a,b\in B:\overline{a+b}=\overline{a}\cdot \overline{b}$$

$$\forall a,b\in B:\overline{a\cdot b}=\overline{a}+\overline{b}$$

Leyes e identidades del álgebra booleana

Al formular expresiones matemáticas para circuitos lógicos es importante tener conocimiento del álgebra booleana, que define las reglas para expresar y simplificar enunciados lógicos binarios. Una barra sobre un símbolo indica la operación booleana NOT, que corresponde a la inversión de una señal.

Leyes fundamentales

Leyes conmutativas

A + B = B + A
A ∙ B = B ∙ A

Leyes asociativas

(A + B) + C = A + (B + C)
(A ∙ B) ∙ C = A ∙ (B ∙ C)

Leyes distributivas

A ∙ (B + C) = (A ∙ B) + (A ∙ C)
A + (B ∙ C) = (A + B) ∙ (A + C)

Otras identidades útiles

A + (A ∙ B) = A
A ∙ (A + B) = A
A + (A ∙ B) = A + B
(A + B) ∙ (A + B) = A
(A + B) ∙ (A + C) = A + (B ∙ C)
A + B + (A ∙ B) = A + B
(A ∙ B) + (B ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + C
(A ∙ B) + (A ∙ C) + (B ∙ C) = (A ∙ B) + (B ∙ C)

Bibliografía 

LATAM, M. (2020, 21 de febrero). Álgebra Booleana. Mecatrónica LATAM. https://www.mecatronicalatam.com/es/tutoriales/teoria/algebra-booleana/

3.1 Álgebra de Boole | Introducción a la Automatización Industrial. (s. f.). Home | Bookdown. https://bookdown.org/alberto_brunete/intro_automatica/algebraboole.html