Álgebra de Boole

 Álgebra de Boole

El álgebra de Boole es una herramienta de fundamental importancia en el mundo de la computación. Las propiedades que se verifican en ella sirven de base al diseño y la construcción de las computadoras que trabajan con objetos cuyos valores son discretos, es decir las computadoras digitales, en particular las binarias (en las cuales los objetos básicos tienen solo 2 valores posibles) las que son, en definitiva, la totalidad de las computadoras de uso corriente. Desde ya adelantemos que no se verán aquí detalles formales de la construcción algebraica, ni todas las propiedades que se verifican, así como tampoco todos los métodos de síntesis de funciones booleanas que habitualmente se incluyen en este tema en cursos de lógica y/o diseño lógico.

 

En la actualidad, el álgebra de Boole se aplica de forma generalizada en el ámbito del diseño electrónico. Claude Shannon fue el primero en aplicarla en el diseño de circuitos de conmutación eléctrica biestables, en 1948. Esta lógica se puede aplicar a dos campos:

1.    Al análisis, porque es una forma concreta de describir cómo funcionan los circuitos.

2.    Al diseño, ya que teniendo una función lógica aplicamos dicha álgebra para poder desarrollar una implementación de la función.

El uso del álgebra de Boole en la Automática se debe a que buena parte de los automatismos responden a la lógica binaria. Las variables binarias de entrada son leídas y producen variaciones en las señales binarias de salidas.

 

El álgebra de Boole está formada por un conjunto de variables Booleanas, x∈{0,1}x∈{0,1}. Es decir variables que sólo pueden tomar dos valores: 0 ó 1, abierto o cerrado, encendido o apagado, etc.

Un literal l es una variable o su negada. Existen dos tipos: literalres con signo positivo cuando representan el valor ‘1’ de la variable (l=xl=x), y con signo negativo cuando representa el valor ‘0’ (l=¯¯¯xl=x¯).

Una cláusula (o término C) está formada por un conjunto de literales enlazados mediante conectivas lógicas.

Una fórmula lógica ϕϕ está formada por conjuntos de cláusulas enlazadas mediante conectivas lógicas. Matemáticamente, toda fórmula lógica ϕϕ de n variables puede verse también como una función multivariable, esto es ϕ:{0,1}n→{0,1}ϕ:{0,1}n→{0,1}. En este texto emplearemos indistintamente los términos de función y fórmula.

Una interpretación de una fórmula lógica ϕϕ es el valor lógico de la fórmula cuando se le asignan valores de verdad (TRUE / FALSE) a sus variables. En consecuencia, existirán tantas interpretaciones como combinaciones de asignaciones posibles.

Se dice que una fórmula lógica es satisfacible cuando existe al menos una interpretación que la hace verdadera.

Operaciones básicas

El álgebra de Boole está definida por 3 operaciones básicas: complemento, suma (OR) y producto (AND).

El complemento es el negado: $y=\overline{a}$. Viene dado por la tabla 3.1.

Tabla 3.1: NOT
a	y
0	1
1	0

La operación suma u OR se representa y=a+b$y=a+b$ y viene dada por la tabla 3.2.

Tabla 3.2: OR
a	b	y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

La operación producto u AND se representa y=a⋅by=a·b y viene dada por la tabla 3.3.

Tabla 3.3: AND
a	b	y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Propiedades

Axiomas básicos

1: La ley asociativa:

∀a,b,c∈B:(a+b)+c=a+(b+c)

$$$$

∀a,b,c∈B:(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

2: Existencia del elemento neutro:

$${\displaystyle }$$

∀a∈B:a+0=a

$${\displaystyle }$$

∀a∈B:a⋅1=a

3: La ley conmutativa:

$${\displaystyle }$$

∀a,b∈B:a+b=b+a

$${\displaystyle }$$

∀a,b∈B:a⋅b=b⋅a

4: Ley distributiva:

$${\displaystyle }$$

∀a,b,c∈B:a+(b⋅c)=(a+b)⋅(a+c)

$$$$

∀a,b,c∈B:a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)

5: Existencia del elemento complementario:

$$$$

∀a∈B;∃¯¯¯a∈B:a+¯¯¯a=1

$$$$

∀a∈B;∃¯¯¯a∈B:a⋅¯¯¯a=0

AND

$$$$

Ley de idempotencia para el producto:∀a∈B:a⋅a=a

$$$$

Ley de absorción para el producto:∀a∈B:a⋅0=0

$$$$

Ley de identidad para el producto:∀a∈B:a⋅1=a

OR

$$$$

Ley de idempotencia para la suma:∀a∈B:a+a=a

$$$$

Ley de absorción para la suma:∀a∈B:a+1=1

$$$$

Ley de identidad para la suma:∀a∈B:a+0=a

NOT

$$$$

Ley de involución:∀a∈B:¯¯¯¯¯¯a=a$$\mathrm{<br>}$$

Leyes de De Morgan

$$$$

∀a,b∈B:¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯a+b=¯¯¯a⋅¯¯b$$\mathrm{<br>}$$

$$$$

∀a,b∈B:¯¯¯¯¯¯¯¯¯a⋅b=¯¯¯a+¯¯b